はい、「先々月（Two months ago）」を削っても全く問題ありません！
むしろ、日付（February 8th）を具体的に言っているので、削ったほうがスッキリとして自然な英文になります。
修正した3つのパターンはこちらです。

## 1. 感情を込めた自然な表現（SNS・友人向け）

On February 8th, Japan’s general election day was a snowy one.
It was such an ordeal... 😔😖😔
Here is a news clip of the "Snowy General Election."

（訳：2月8日、日本の総選挙の日は雪でした。本当に大変な目に遭いました……。😔😖😔 こちらは「雪の総選挙」のニュース映像です。）