「おかげさまで」という言葉を英語にする場合、日本語のように一言で決まった定型句（Thanks to youなど）を使うよりも、「ついに」「やっと」というニュアンスを含めて喜びを伝えるのが自然です。
「（先生や周囲の支えもあって）無事に終わった」という気持ちを込めた表現をいくつか紹介します。

1. 自然で使いやすい表現
Thanks to everyone’s support, I’ve finished my dental treatment for now.
（おかげさまで、ひとまず今回の歯の治療が終わりました。）
I’m so relieved! 💆‍♀
（ホッとしました！）

2. 「やっと一段落した！」という達成感を出す場合
Finally, I'm done with my treatment for now.
（おかげさまで、ようやく一旦終わりました。）
What a relief! 💆‍♀
（一安心です！）